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Leitfaden Statistik

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Leitfaden Statistik


Grundbegriffe

Bevor eine Reihe wichtiger statistischer Größen definiert, erklärt und interpretiert werden, müssen einige Grundbegriffe zum besseren Verständnis geklärt werden.
Es kann sein, dass Ihnen das ziemlich „theoretisch“ vorkommt, es ist aber zum weiteren Vorgehen und Verständnis unabdingbar.


Maßzahlen für die Lage

Unter dem Begriff „univariate Statistik“ versteht man die isolierte Betrachtung einzelner Merkmale bzw. Variablen von Untersuchungseinheiten (= Personen). Man macht nur Aussagen über ein einziges Merkmal (z.B. Alter). Bedeutsame Informationen liefern dabei Lagemaße und Streumaße.

Beispiel für eine Verteilung
Im Folgenden finden Sie ein Beispiel für eine eindimensionale Verteilung.
Erhoben wurde hierbei das Merkmal Alter.

Die ursprüngliche Zuordnung einer Merkmalsausprägung zu einer Person nennt man Urliste:



Ordnet man die Urliste nach Stärke der Merkmalsausprägung ergibt sich die sortierte Liste daraus:

Diese kann man zur Häufigkeitsverteilung zusammenfassen:

Es gilt: Die Summe der Häufigkeiten (Anzahl) ergibt die Gesamtanzahl der Teilnehmer N = (4+2+1+2+2+1) = 12


Maßzahlen für die Streuung

Streuungsmaße sind Maße für die Abweichung einer beliebigen Variable X vom Mittelwert MW(x) einer Verteilung. Diese Maßzahlen geben an wie breit bzw. schmal die Verteilung ist.
Mit Maßzahlen für die Streuung untersucht man beispielsweise folgende Aussage:
„Es gibt kaum Unterschiede zwischen den Teilnehmern“

Man geht davon aus, dass die einzelnen Werte nicht weit auseinander liegen (also dass die Verteilung schmal ist). Es werden allerdings keine Aussagen getroffen, wo die Werte liegen.

WICHTIG: für alle nachfolgend beschriebenen Streuungsmaße muss Intervallskalenniveau gelten!


Zusammenhangsmaße

Im Gegensatz zu den vorangegangenen Kapiteln werden nun die verschiedenen erhobenen Variablen nicht mehr einzeln und voneinander isoliert betrachtet (= univariate Statistik), sondern miteinander in Verbindung gebracht. Es werden zwei Merkmale gleichzeitig betrachtet (= bivariate Statistik).

 Alle Zusammenhangsmaße, die in diesem Kapitel besprochen werden untersuchen ausschließlich lineare Zusammenhänge zwischen zwei Variablen. Lineare Zusammenhänge sind die am meisten untersuchten Zusammenhänge.
Auf Basis dieser Maße können also lediglich Rückschlüsse gezogen werden, die sich auf lineare Zusammenhänge beziehen. Mit Hilfe dieser Zusammenhangsmaße können Sie also lediglich eine Aussage der Form treffen, dass zwischen zwei untersuchten Variablen ein bzw. kein linearer Zusammenhang besteht.
Eine allgemeine Aussage der Form „zwischen den beiden Variablen besteht kein Zusammenhang“ kann nicht getroffen werden, da mit diesen Maßen keine Aussagen über andere Arten von Zusammenhängen (z.B. U-förmige Zusammenhänge) möglich sind.
 

Alle nachfolgend erklärten Zusammenhangsmaße untersuchen, ob zwischen einer Variablen X (z.B. Geschlecht) zu einer Variablen Y (z.B. Produkt gekauft ja/nein) ein linearer Zusammenhang besteht.

 Wenn im Folgenden von Zusammenhängen oder Zusammenhangsmaßen die Rede ist sind immer lineare Zusammenhänge bzw. lineare Zusammenhangsmaße gemeint. 

Es gibt eine Reihe verschiedener Zusammenhangsmaße. Wann welches Maß verwendet wird ist abhängig vom Skalenniveau der Daten.

Mit der Hilfe von Zusammenhangsmaßen versucht man die Beziehung zwischen zwei Variablen zu untersuchen. Es gibt dabei für jedes Skalenniveau spezifische Zusammenhangsmaße.

Zur Einführung ein paar allgemeine (Skalenniveau unabhängige) Aussagen bezüglich linearer Zusammenhangsmaße:

Der Zusammenhang zwischen X und Y entspricht dem Zusammenhang zwischen Y und X
Der Zusammenhang zwischen X und X ist immer 1
Der Zusammenhang zwischen Y und Y ist immer 1

Lineare Zusammenhangsmaße liegen in einem Wertebereich zwischen minimal -1 und maximal +1.
Werte außerhalb dieses Bereiches sind nicht möglich!!!

Es gilt:
„-1“ spiegelt einen perfekten negativen Zusammenhang der Form „je größer X, desto kleiner Y" wieder und würde graphisch dargestellt folgendermaßen aussehen:

„+1“gibt einen perfekten positiven Zusammenhang der Form "je größer X, desto größer Y" wieder und würde graphisch dargestellt folgendermaßen aussehen:

Wenn der Wert für das Zusammenhangsmaß 0 aufweist, hängen die beiden Merkmale überhaupt nicht linear zusammen.

Der hier abgebildete Zusammenhang beträgt mit -0,02 beinahe Null.

Wie bereits erwähnt können Variablen allerdings in nicht-linearer Weise (z.B. U-förmig) voneinander abhängen

Lineare Zusammenhangsmaße geben für den hier abgebildeten Zusammenhang  einen Wert von 0,00 an. Allerdings ist zu erkennen, dass ein ausgeprägter U-förmiger Zusammenhang besteht.

Werte linearer Zusammenhangsmaße werden i.a. wie folgt interpretiert:

Ein Zusammenhang, egal ob positiv oder negativ ist erst ab einem Betrag von 0,2 ein statistischer Zusammenhang, da er vorher noch zu gering ist, d.h. eher zufällig. In dem Fall ist als Interpretation gültig: Der Zusammenhang geht gegen Null.
Die Wahl des Zusammenhangsmaßes ist abhängig vom Skalenniveau der Variablen.

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