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Maßzahlen für die Streuung

Streuungsmaße sind Maße für die Abweichung einer beliebigen Variable X vom Mittelwert MW(x) einer Verteilung. Diese Maßzahlen geben an wie breit bzw. schmal die Verteilung ist.
Mit Maßzahlen für die Streuung untersucht man beispielsweise folgende Aussage:
„Es gibt kaum Unterschiede zwischen den Teilnehmern“

Man geht davon aus, dass die einzelnen Werte nicht weit auseinander liegen (also dass die Verteilung schmal ist). Es werden allerdings keine Aussagen getroffen, wo die Werte liegen.

WICHTIG: für alle nachfolgend beschriebenen Streuungsmaße muss Intervallskalenniveau gelten!



Berechnung der Varianz

Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte eines Datenbündels vom Mittelwert, dividiert durch n (= die Anzahl der Beobachtungen).
Die Abweichungen werden quadriert, da sich sonst rechts und links vom Mittelwert liegende Abweichungen gegenseitig aufheben könnten.

WICHTIG: für ein gegebenes (im Sinne von vollständiges) Datenbündel (z.B. eine Mitarbeiterbefragung mit Vollerhebung, bei der tatsächlich alle Mitarbeiter teilgenommen haben) gilt die Formel:

Handelt es sich bei den Daten um eine Stichprobe (d.h. nicht alle Mitglieder der Grundgesamtheit haben teilgenommen) und soll ein Schätzwert für die Varianz in der Grundgesamtheit berechnet werden, wird stattdessen folgende Größe verwendet:

Dabei gilt: 

Die Gesamtformel für die Varianz sieht also folgendermaßen aus:

BEISPIEL: Alter der Mitarbeiter in Abteilung X: 20, 21, 21, 22, 24, 30

Interpretation
Bei der Varianz handelt es sich also um eine Maßzahl, das angibt wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt von Mittelwert entfernt liegen. Der Nachteil der Varianz in der Praxis liegt darin, dass sie eine andere Einheit als die Daten besitzt


Berechnung der Standardabweichung

Die Standardabweichung kompensiert den Nachteil der Varianz, indem sie aus der  Quadratwurzel der Varianz gebildet wird und somit dieselbe Einheit wie die Daten besitzt. 
Wie bei der Varianz ist zu unterscheiden zwischen der Standardabweichung, die die gegebenen Daten charakterisiert

und der Standardabweichung, die aus Stichprobendaten als Schätzwert für die Grundgesamtheit berechnet wird

Es gilt also:

Für das Beispiel gilt:


Mathematische Bedeutung
Liegt eine Beobachtungsreihe (x1, x2,…,xn) der Länge N vor, so sind empirischer Mittelwert und empirische Standardabweichung die zwei wichtigsten Maßzahlen in der Statistik zur Beschreibung der Eigenschaften der Beobachtungsreihe.

Die Standardabweichung heißt auch mittlerer Fehler oder RMS error (von engl. root mean square). Als Abkürzung findet man neben σ in Anwendungen oft auch s, m.F. oder englisch rms. In der angewandten Statistik findet man häufig die Kurzschreibweise der Art „Ø 21 ± 4“, was als „Mittelwert 21 und Standardabweichung 4“ zu lesen ist.

Interpretation
Aus Angaben zu Mittelwert und Standardabweichung ergibt sich die mittlere Schwankungsbreite (gilt im Falle normalverteilter Mengen, wovon man bei zufälligen und ausreichend großen Stichproben ausgehen kann).

Es gilt:
Im Bereich von „Mittelwert ± 1 Standardabweichung“ befinden sich ca. 68% aller Teilnehmer der Grundgesamtheit

In unserem Beispiel: MW(x) ± 1*std(x) = 23,5 ± 3,7 = 19,8 bzw. 27,2 Jahre

Bei einer repräsentativen und ausreichend großen Stichprobe könnte man den Schluss ziehen, dass 68% aller Teilnehmer der Grundgesamtheit zwischen 19,8 und 27, 2 Jahre alt sind.
--> In diesem Fall ist der Schluss ungültig, da unsere Stichprobe zu klein ist.

Weiter gilt:
Im Bereich Mittelwert ± 2*Std(x) befinden sich ca. 95% der Teilnehmer

Im Bereich Mittelwert ± 3*Std(x) befinden sich ca. 99% der Teilnehmer

Faustregel für die Praxis
Werte außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung nennt man Ausreißer. Viele Ausreißer können ein Hinweis auf grobe Fehler der Datenerfassung sein.


Berechnung der Streumaße mit SPSS

Die Streumaße werden in SPSS auf dieselbe Art und Weise wie die Lagemaße berechnet.
Wählen Sie in SPSS das Menü „Analysieren“ --> „Deskriptive Statistiken“ --> „Häufigkeiten“.
Wählen Sie nun diejenige Variable aus, für die Sie die Maße berechnen lassen möchten.
Klicken Sie anschließend auf den "Statistik"-Button. Hier können Sie unter „Streuung“ die Maße Varianz und Standardabweichung auswählen.

Die Berechnung von Varianz und Standardabweichung mit SPSS führt mit o.g. Daten zu folgenden Ergebnissen:

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