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Grundbegriffe

Bevor eine Reihe wichtiger statistischer Größen definiert, erklärt und interpretiert werden, müssen einige Grundbegriffe zum besseren Verständnis geklärt werden.
Es kann sein, dass Ihnen das ziemlich „theoretisch“ vorkommt, es ist aber zum weiteren Vorgehen und Verständnis unabdingbar.


Grundgesamtheit / Stichprobe

Grundgesamtheit
Umfragen werden mit dem Ziel durchgeführt neue Erkenntnisse über bestimmte Personen (z.B. Kunden, Mitarbeiter) zu erhalten bzw. gültige Aussagen über diese Personen treffen zu können. Die Grundgesamtheit ist dabei die Menge der Personen, für die die Aussagen einer Untersuchung gelten sollen, z.B. "alle Mitarbeiter des Unternehmens X" oder "alle Kunden im Alter von 18 bis 49 Jahren".

In der Realität ist es oft sehr schwer bis beinahe unmöglich alle Personen einer Grundgesamtheit zu befragen. Daher werden Daten nicht an allen Objekten der Grundgesamtheit erhoben, sondern an Stichproben.

Stichprobe
Unter dem Begriff Stichprobe versteht man, dass nur ein Teil der Personen der Grundgesamtheit befragt wird. Die Auswahl bzw. Zusammensetzung der Stichprobe kann auf verschiedene Arten erfolgen. Am gängigsten ist die so genannte Zufallsauswahl.
Es ist wichtig die Grundgesamtheit genau festzulegen, um die Stichprobe nachvollziehbar auszuwählen und exakt angeben zu können, für wen die Untersuchungsergebnisse Gültigkeit beanspruchen.
Auf Basis der Daten der Stichprobe kann man dann Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit ziehen.
Damit dieser Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit zulässig ist müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

  • Die Stichprobe muss groß genug sein
    Die absolute Untergrenze für eine Stichprobengröße, um gültige Schlüsse von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit ziehen zu können liegt bei 30 Personen. Besser ist eine Stichprobengröße von ca. 100 Personen.
  • Die Stichprobe muss "repräsentativ" sein.
    Damit ist gemeint, dass die Stichprobe die Zusammensetzung der Grundgesamtheit widerspiegeln soll, also beispielsweise ebenso viele Frauen oder Personen mit Hochschulbildung usw. enthalten soll wie die Grundgesamtheit, der sie entstammt. Dies ist per Definition bei einer Zufallsauswahl der Fall.


Arten von Merkmalen

Man kann Merkmale folgendermaßen einteilen:

  1. Qualitativ  vs. Quantitativ

    qualitativ heißen diejenigen Merkmale, deren Ausprägungen unterschiedliche Arten darstellen (z.B. Farbe mit den Ausprägungen: blau, rot, grün, gelb; Familienstand)

    quantitativ heißen diejenigen Merkmale, die von vornherein Zahlen als Ausprägungen haben (z.B. Alter, Entfernung in KM, Umsatz in ¤)

  2. diskret vs. stetig

    diskrete Merkmale können nur abzählbar viele Werte annehmen (z.B. Anzahl, Geschlecht)

    stetige Merkmale können jeden Wert eines Kontinuums annehmen (z.B. Gewicht: 63,786 Kg, Länge 4387,35m)


Skalenniveau

Jeder Merkmalsausprägung kann eine Zahl als Code zugeordnet werden. Das Skalenniveau hängt davon ab, wie die Zuordnung der Zahl zur Merkmalsausprägung erfolgt.
Man unterscheidet folgende Skalenniveaus:

Nominalskala
Ein Merkmal heißt nominal, wenn seine möglichen Ausprägungen zwar unterschieden, nicht aber in eine Rangfolge gebracht werden können, d.h. verschiedenen Merkmalsausprägungen werden verschiedenen Zahlenwerte zugeordnet.
z.B. blau = 1, rot =2,…

--> Die einzig zulässige Schlussfolgerung aus einer Nominalskala lautet:
Gleiche Zahlen bedeuten gleiche Merkmalsausprägungen, unterschiedliche Zahlen bedeuten unterschiedliche Merkmalsausprägungen.

 

Ordinalskala
Ein Merkmal heißt ordinal, wenn jede Merkmalsausprägung der Untersuchungseinheit genau einer Kategorie zugeordnet wird. Die Kategorien lassen sich in eine Rangfolge bringen und mit Namen oder Zahlen bezeichnen.

Die verschiedenen Merkmalsausprägungen stehen zueinander in einer „größer bzw. kleiner“ – Beziehung, d.h. die Zahlen drücken nicht nur Verschiedenheit, sondern auch eine zugrunde liegende Ordnung aus (z.B. schwach = 1, mittel = 2, stark = 3, sehr stark = 4, am stärksten = 5)

--> Eine zulässige Aussage ist, dass die Rangfolge der Zahlen gleich der Rangfolge der Stärke der Merkmalsausprägungen ist.
D.h. jemand mit einem höheren Rang hat auch eine höhere Merkmalsausprägung als jemand mit einem niedrigeren Rang.
Über die Stärke der Merkmalsausprägung oder die Größe des Merkmalsunterschiedes zwischen Objekten lässt sich aber keine Aussage machen.

 

Intervallskala
Ein intervallskaliertes Merkmal ist ein Merkmal, dessen Ausprägung sich quantitativ mittels Zahlen darstellen lässt. Das heißt insbesondere auch, dass Rangunterschiede und Abstand zwischen Werten gemessen werden können, d.h. quantitative Merkmale gehen in ihren Anforderungen über ordinale oder gar nominale Eigenschaften hinaus.

Bei intervallskalierten Merkmalen lassen sich zusätzlich zu den Eigenschaften der Ordinalskala die Abstände zwischen den verschiedenen Merkmalsausprägungen exakt bestimmen.
Die Intervalle (= Abstände) zwischen benachbarten Merkmalsausprägungen sind gleich groß, allerdings existiert kein natürlicher Nullpunkt für die Skala.
Willkürlich definierte Nullpunkte, wie z.B. bei der Celsius-Temperaturskala zählen hier nicht als natürlicher Nullpunkt, während der Nullpunkt der Kelvin-Temperaturskala, der dem absoluten Nullpunkt entspricht, ein natürlicher Nullpunkt ist.

--> Jede Intervallskala ist so geartet, dass die Rangfolge der Differenz zwischen Zahlen gleich der Rangfolge der Merkmalsunterschiede zwischen den entsprechenden Objekten ist.

 

Verhältnisskala
Auf einer Verhältnisskala/ Ratioskala werden Merkmalsausprägungen eingetragen, für die folgendes gilt:

  • Merkmalsausprägungen werden als Zahl dargestellt
  • für die Zahlenwerte existiert ein natürlicher Nullpunkt und
  • die Maßeinheit ist willkürlich definiert

--> Bei Verhältnisskalen entsprechen die Zahlen der Stärke der Merkmalsausprägungen. Zulässige Aussagen sind z. B. Herr X ist um 15% gewachsen.

Beispiel: Preis in ¤ (natürlicher Nullpunkt: kostenlos), Geschwindigkeit in Km/h (natürlicher Nullpunkt: Stillstand), Gewicht in Kg (natürlicher Nullpunkt: kein Gewicht)



Absolutskala
Auf einer Absolutskala werden Merkmalsausprägungen eingetragen, für die folgendes gilt:

  • Merkmalsausprägungen werden als Zahl dargestellt
  • für die Zahlenwerte existiert ein natürlicher Nullpunkt und
  • die Maßeinheit ist natürlich gegeben (d. h. im weitesten Sinne 'Stück')

Beispiel: Einwohner eines Landes, Anzahl Fehler

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